2013
之前看了很多数学启蒙书，结合实践时总觉得在根上没有力量。那种感觉就是你很认同，仿佛找到了知己，但是别人的还是别人的，你在只能照搬别人的方法，不能生发自如。这种模仿出来的方法，效果不会长久，因为只知道表面的道理，就很难随机应变，但是每个家庭的环境背景是不同的，孩子是不同的，妈也是不同的。孩子很快就会厌倦，因为他没有感受到来自你身上的光彩。
上周读了这本书，感觉找到了！这篇读书笔记，送给和我有一样困惑的家长和老师。希望可以给你一点启发，找到在数学启蒙的世界中自由驰骋的感觉。试想当你可以从生活中随处生发出数学的美，并且可以根据孩子的状态和程度，自如创造和深入时，那会是一种多么畅快的感觉。这样你呈现给孩子的数学才是真正焕发生机的数学，才是有效的和学校教育互补的数学。
所有探究数学教育的书，都会涉及到一个问题"到底什么是数学？学数学到底学的是什么？”我也是寻着这个问题一路追到了这本书。书中用了一个词，把数学和教育融合在了一个频道，也让我把很多数学和科学教育的认知片段，连在了一起。这个词就是“成长式思维”。
成长式思维
所有学科的启蒙，都是建立在情感的基石上再去延展的。当我们说“我是理科学渣“，”数学太高深“，”男孩更有数学天赋”时，都是源于集体意识的焦虑，而忽视了成长式思维，把自己固定在了一个不可变，也不接受不确定性的位置上。
01 大脑是活的
我们的大脑每时每刻都在生长和变化。在英国伦敦有一群超级出租车司机，他们叫“Black Taxi"。要想成为他们中的一员，需要学习2-3年，熟记25,000条大街和20,000个地标性建筑。最后要参加一个名为“The Knowledge”的测试，据说是世界上要求最苛刻的测试之一，每个学员一般要经过12次考试才能通过。
科学家对他们的大脑进行了检测，发现在经过这些特殊学习之后，负责记忆和空间信息的海马体出现了显著的生长。不过他们退休后，海马体又会萎缩回来。相比之下，只需要记住固定路线的公交车司机，却并没有这样的变化。这说明只要给与充分的环境，我们大脑的可塑性是惊人的。
其实每个人都有这样的潜力，因为这就是大脑的工作方式，它每时每刻都在产生新的神经元连接。数学学习也是一样，无论拥有怎样过往的孩子，他们需要正确认识大脑的这种生长方式给与了每个人同样的潜力和可能，扫除自己对数学的情感障碍，建立出发的信心。
02 学习就是必须犯错
老师们会异口同声地说：“没错，当改正了错误并最终把问题解决时，我们的大脑就成长了。”
但科学家却说，当一个人在犯错误时大脑电流强度要比得到正确答案时大很多。也就是说，A同学这道题做对了，而B同学做错了，结果是B同学得到了更多大脑成长的机会。
不仅如此，科学家还说：如果B同学不仅答错了，还为此而感到高兴，知道犯错是帮助成长的好事，那他的脑电流就比其他抵触错误的人强度更大。还有一个买一赠一的好处，对错误有好感的人，大脑对错误的察觉就会更敏感，回过头来改正错误的概率也更大。当然这里的错误是指在认知上没有达到匹配而导致的真实错误，并不是故意犯错或者不小心犯错。
缰固式思维的人，把错误当作结果，产生挫败感。他们对自己的定位也容易缰固在一个位置不变；而成长式思维的人，把错误当作成长的机会。在错误面前，他们会更加兴奋。当他们相信错误的价值，大脑先亮了，然后他们知道成长的机会来了。
这些不同的思维模式最初是怎么来的呢？我小的时候，家里人和老师对我的评价一直都是：“这孩子不聪明，但很努力。”按说是符合上面这个图的说法的。但结果这些话传递给我的信号是：我很笨，我与别人不同，我天资不够，所以要学会这些东西我需要花更多的时间。这其实就是家长的缰固式思维传递出来的。
现在常说家长表扬孩子不能老说很棒，要说努力。但我在张口鼓励孩子的那一瞬间，除了很棒没别的词，我得停一秒钟想想说啥词儿。我从书中领会了一个方法，就是肯定孩子时用动词类，这样就会聚焦到行为和过程。否定一个行为时，用名词。比如“我们不做一个没有礼貌的孩子。”这句话暗示了将孩子和这种行为分离开。
其实，如果家长本来就没有深刻理解成长式思维，无论说什么都散发着缰固式思维的频率。
所谓学习，不是简单的记忆和复制，不是知识的堆砌。真正的学习是将不同观点和想法有序联系在一起。每个人都有自己的心智模式，他会就一件事物在自己的心智模式下推演。如果说的通，就达到了认知平衡。如果自己说不通，但是新来的信息又是合理的，就需要改变自己的心智模式来达到新的平衡。产生错误的原因就是这种矛盾和不平衡的状态，学习就是为了找到不平衡点，进行系统重建，实现思维成长。
2018年，在我研究数学和科学启蒙的过程中，我充分地体验到那种三观不断被刷新的快感。从理论到实践，从制作洪水视频，到后来为建筑课、万物运转课备课，我不断地挑战自己的认知边界：收集信息，建立联系，新的疑问产生，再用新的角度去查找答案，不断突破和编织更宏大的体系，发现更广阔的探索空间。
这个过程的美好，是会上瘾的，也就是真正的学习源动力。它会一直出现新的疆界，吸引你前行。经历了这些后，在读到这本书时，我能非常真切的感受到：那个在犯错试探的引导下，不断升级认知的过程，也非常理解孩子们经历犯错的必要性和随之而来的成就感。
错误就好像是成功的一个临界点，它是那么令人向往。所以，请对你的孩子说：“什么？你今天所有的题都做对了！太遗憾了，你错过了今天所有的学习机会。”当我们和孩子像寻宝一样寻找错误的边界时，好事就会接二连三的出现。首先，我们开始对自己有了信心。
因为我是会不断成长的，有个词叫”暂未获得“。而错误会带领我获得。然后，我们也会这样去看待他人，减少对他人僵化式的评价，接纳与自己不同的观点和维度。我们对事物也不会轻易下断论，因为这个世界唯一不变的就是变化。
纽约时报的作家Peter Sims指出：“不完美是任何创新过程和生活中的一部分，但却因为种种原因，我们生活在一个异常害怕失败的文化中。这种文化过于注重完美，让我们畏首畏尾。“
他还总结了成功人士普遍具有的习惯：
数学是什么
有了成长式思维的学习模式，再来看我们的目标——数学，究竟是个什么鬼东西。
01 数学就是你的人设
数学不是只关于数字，它是研究世界和整体，事物之间的联系和变化的。数学也不是客观事实，而是人类用自己的视角和维度来观察和解释世界的方法。它代表的是观点，而且每个人都可以有自己的数学观点。
它也不是真理，就像科学界的黑科学和白科学，只是代表大多数科学家暂且接受的观点，它会随着人类对世界认识的变化而不断迭代出新的思想，颠覆原来的理论。所有的理论都不代表永恒，也不代表世界本来的样子。
上周我在参观了中国光学科学馆认识到：世界的色彩、万物的形态只是我们人类看世界的方式罢了。和我们完全不一样的生物，他们感受的世界和我们完全不同。数学是在人类的认知范围内产生的学科。就好像汉语和英语，不光是两种语言，而是在思维层面就不同的语言体系。或许在外星人那里，数学定理是根本不成立的东西。
要学好数学或者教好数学，首先要突破我们对数学的刻板印象和狭隘定义，同时把它从高高的金字塔上面拉下来。它就是你我认识世界的方式，不管你是否意识到。就好像看电视，只要你打开开关，你就会看。但是如果外星人来看，他们在电视里或许什么也看不到。没错，我是说数学就是你的人设，就如同电视是为人类的视觉模式设计的，只不过不同人喜欢看的节目不同而已。
02 数学不只是计算
关于这个问题，其实很多父母都认可数学不只是计算，它还应该有别的更高深的东西。但是到底是什么呢？培训机构对家长说是逻辑思维。逻辑思维又是啥？这就仁者见仁、智者见智了。有人说是奥数，有人说是学而思，有人说是不同解题方法。我更喜欢不看考试，而看向未来的说法。
Wolfram-Alpha公司是一个知识类计算公司。当你在它的界面上提出一个问题，比如“叔叔的叔叔的兄弟的儿子”，它不会像谷歌一样出现一堆网站清单而没有一个具体答案，界面会返回一份家谱，包括血缘关系部分的数据。这个公司可算是世界上重要的数学类公司。
Wolfram-Alpha 公司的董事Conrad Wolfram曾在TED演讲中提出数学工作的四个步骤：
1）提出问题
2）根据问题建立数学模型
3）计算
4）从数学模型回到问题，看问题是否得到解决。
大部分学校和机构都会把80%的时间用在提高步骤3）计算能力上。这在过去或许受用，但如今在现实工作中，这部分完全交给了计算机，而公司更需要有能力依据大数据提出相关且有意义的问题、根据问题建立模型、分析和解释数学结果的人。
那为什么学校考试和机构会主攻计算，而其他三种能力的教学却发展缓慢呢?除了教育和考试制度改革缓慢的限制外，我想很可能的原因是计算可以通过机械重复训练和记忆套路来快速提升。但是其他三项，是需要对数学有深度的理解，花慢功夫才能达到的。
03 数学不是算得快
被虐三观了吗？孩子的数学，全做对是遗憾，做太快也会损失惨重。三好学生的样子，不是又快又好吗？所以啊！爱因斯坦、爱迪生和牛顿这些人小时候都不是三好学生。
“数学就是反应快”的误区还是源于将数学等同于计算和记忆。回到数学的本质，当你需要深入理解事物以及它们之间的关系时，你需要切换不同的频道，从多个维度理解问题，找到它们的相同与不同，用不同的方法解决，以各种方式和角度来呈现和解释你的观点。这个过程需要的是细致而深入的思考。
一旦把快速计算等同于数学好，多数是在调用记忆力。当孩子们处于压力之下，比如在规定时间内完成一定量的题目，他们大脑的记忆区就会被堵塞，无法正常提取储备的数学常识。这种求快和使用记忆之间的矛盾，很容易让孩子对数学产生焦虑和丧失信心。那么什么才能让孩子们对数学有好印象呢？
04 数学之美
如果世界上的事物都是彼此孤立，没有任何联系的，那真是很无聊。数学也是一样，每个数字单独看上去只是个符号，但把它们串联起来，就可以组成无数的规律。
Arthur Benjamin在TED上的演讲【The magic of Fibonacci numbers】
数学是我们人脑想出来的，但它是用来解释世界的。它源于我们对生活对世界的疑问。当孩子们进入这个抽象的数学世界时是带着对生活的热情、对世界的好奇时，他们就会看到数学的光芒。
数学教育
一个人从一门学科的低水平到高水平的进阶叫“进修”，是个人奋斗的过程，但这个人首先需要有自己的目标和动力。而让人拥有目标和动力就是“教育”该做的事，它需要去点燃学习的渴望和信心。
01 给直觉让路
有一项调查访问了70位数学家，其中有58位强调了直觉的重要性。什么是直觉呢？就是老师在讲授新方法前，先问问学生有什么方法解决问题，这时学生就需要进行开放性和自由的思考，这种思考的机会帮助他们更深入地理解题目。
难道靠他们自己想出老师要讲授的方法吗？不完全是。这个深入思考的过程中，是在创造他们的需求。打个比方，假如说要钉一颗钉子，怎么办？用手按的话，手疼，力量不够。这时他的直觉可能是需要一个坚硬又产生力量的东西
比如用石头砸。但是石头块大不方便拿，还费劲。这时你再给他一个锥子。他用了一下，发现这是个宝贝。这个创造需求的过程，不仅可以深入理解题目和条件，还会深刻看懂方法的价值所在，并对方法产生兴趣。或许再后来，他会时不时地拿出“锥子”来试试，看看这里能不能用，那里能不能用。给直觉让路就是问题前置、创造需求。
02 概念式学习
刷题是个有争议的话题。刷题刷的是什么呢？如果只是简单的重复方法和步骤，那就只是对记忆的存储和熟练提取过程的机械操作。这种记忆会随着不再重复而逐渐模糊。那么刷题和重复就没有意义吗？所谓温故而知新，重复是必要的，重点是要深入才能知新。
概念式学习，就是用多种方法和维度去理解概念，以及概念和概念之间的联系。回忆我们小时候学数学，老师讲概念是为了引出方法来解题。所以概念在我看来就是一段晦涩绕口的文字。但其实这种教学方式是本末倒置的。学会方法不是为了解题，而是为了理解概念。刷题也好、温故也好，是在不同情境中使用这个概念，对它产生更全面的认识过程。
大脑最好的存储形式就是理解和构建意义，这个过程如同吃东西，我们将食物嚼碎、消化，转化为自身所需。当我们深入理解了一个概念，这些信息就会被组织起来，压缩存储。大脑只能压缩概念，不能压缩计算法则和方法。所以，没有经过概念思考、只死记硬背公式的学生无法经历大脑压缩这一关键过程，结果就不会灵活运用。
William Thurston是一位获得菲尔兹奖的顶级数学家，他是这样描述大脑的压缩过程的：
数学在人的大脑中有极强的可压缩性：当你学习一个新的数学概念时，你也许需要一点一点地弄懂它，也许需要从多个角度去理解它，你的思维也许会挣扎一阵子。一旦你真的弄懂了它，并且可以在你的头脑中形成一个完整的建构，那么压缩过程也就完成了。一旦压缩完成，你就可以把它存储在大脑的一个小空间中，在你需要时你可以快速完整地调用它。数学的这个属性也正是学习数学最愉悦的事情之一。
概念式学习是寻找联系的过程。具体可以怎么做呢？
03 反思性问题
作者的愿望是取消所有的家庭作业，取而代之的是反思性问题式的作业。虽然对大部分学校来说，这只能是美好的愿望。但是感受一下两者的区别吧。一种是铺天盖地的卷子，一种是结束一天时来一段自我反思。感觉就好像一种是圈养，一种野生的。哪种生存能力更强呢？
04 小组责任
数学、科学是社交性的学科，因为它代表的是一个人看世界的观点。你要说明自己的观点，就是说理。小组学习可以实现这一功能。老师会提醒每个学生保持怀疑的态度，这样才能促使其他同学给出更完整、更有说服力的解释。表达观点的同时思辨他人的反馈和观点，也是对自己观点的完善和升级。
说服过程三个阶段：
小组学习模式成功与否的关键是小组责任制。就是你必须对小组的全体成员负责。这样就会让小组内部形成互帮互助的氛围。
在案例中，一位来自railside高中的女孩说，一开始她不理解，觉得我为什么要帮助其他人？我只想把自己的事做完。但是在实行了小组责任后，她发现帮助别人，其实是在帮自己。给其他人讲题，你需要跳出原有的思维模式，理解并找到对方的bug。而这个过程就是深入思考的过程。
小组玩法
05 开始之前
在开始学习之前，孩子们并不知道老师或者父母的期望是什么。老师和父母表达自己的立场非常重要。可以制做成海报贴在墙上。
在解决问题之前，小组讨论行为规范会让小组学习更加顺利。可以制作一个表格，讨论我们喜欢和不喜欢的行为。
除了分数，我们还能给孩子什么？
考试和分数制诞生时，初心是帮助学生分析自己的学习状态和作为鼓励的一种方式。但是现在分数的重点完全偏离，越来越变成了枷锁，禁锢了学生自我评价的定位，不仅挫伤低分学生的自信，也会误导高分学生对数学本质的认识。其实，老师给学生最好的礼物是评价。
什么样的评价？对该学生学习情况和方向的思考与感悟。分数是冰冷的，关注和指引是温暖的。我现在就还记得小学语文老师每次都会在作文后写上几句话。虽然具体说的话我不记得了，但是每次我都会绞尽脑汁写好作文，期盼着看到那一行字。
要让评价起到积极的作用，那也是很有学问的：
01 评价标准多维度，注重学习能力
作者做了一项调查，问学生们：”你认为怎样做才能在数学上获得成功？“
结果让人震惊，97%来自传统教学模式的学生回答：认真听讲。而在实行了教学改革的Railside高中的学生的回答却是丰富多彩的，比如：
02 抓住时机
评价不用常常，在学生最需要指引时，抓住时机帮助最大。当评价变成一种机械式的反馈，老师也有压力，评价的质量也不会高。
03 评价不是评判
评价是为了解决学生的问题，评价是服务于进一步深入学习的。它不是结点，而是让学生看到努力的方向。
04 花式评价法
把测试和评价变成学生“展示你所学”的机会。不用为考试而准备，而是展示真实的程度，让学生有机会面对自己，并进行自我评价。
让学生按照由简单到难的顺序回答一些问题，在自己回答不出来的那个问题上面画一条线，这条线之后的问题，都可以看书来回答。这种做法，也是在暗示一种成长式思维模式，并帮助老师更好的把握学生的难点所在。
老师会在测试后，让学生清楚地知道自己知道什么、不知道什么、减小差距的路径是什么。这依然是成长式思维模式。
给出全部章节的知识点信息，让学生随时自评，掌握已经学过和未来要学习的进度。
让学生互相评价，写出对方两个做得好的地方，和一个有待提高的方面。
老师讲完一个内容进入下一个内容前，让学生用不同颜色的信号灯标识来表示自己的理解程度。由此调整老师讲课进度。
让学生按照自己强项进行分组。先把强项一样的分在一组，在讨论中升级为专家。然后再打乱重新分组，每个组里就有不同方面的专家了。
每个小组对学习内容制作海报，然后重新分组，成员带着自己原来组的观点和其他成员讨论区别和相同点。
也是自我总结反思的一种，更有仪式感。
平时不愿在课堂上发言的学生，或许更接受这种和老师一对一的方式分享他们的想法。
让学生画出自己所学。
让学生自己出题或者给其他人写评价，都是更好的深入理解内容的方式。可以让他们思考重要的问题，还可以发挥创造性。我家小乐就经常给我和乐爸出题。这个过程确实是我了解他最近关注点和思维发展程度的一个有效渠道。
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