4年级上学期结束，随着可汗数学上8年级进度条抵达100%，Get Ready for Algebra进度条也达到100%，Get Ready for SAT Prep也到了53%。
两年多前制定的目标，到6年级末学完所有高中数学课程的计划，执行得很顺利，初中完成，已经过半。
有必要指出这是按照美国一般进度，8年级是初中末，9年级是高中一年级。到8年级末，完成Pre-Algebra的内容，代数学到了二元一次方程组，而一元二次方程等要到高中Algebra里学习；几何方面，讲到了立体体积包括球体积，但几何逻辑证明要到高中几何；三角函数也没有涉及。到6年级末，要完成这些高中课内内容：
- 代数是最大头；
- 几何，主要是证明部分；
- 三角函数；
- 统计等其他内容。
按目前进度，在未来两年完成这些，问题应该不大。更高阶的内容，比如PreCalculus, AP Calculus等，在7年级开始随后进行，由于9年级是高一，时间应该很充分。
从2年级开始到现在4年级中，过去两年多主要完成的是从4年级数学开始的学习，现总结回顾如下。
一、规划：速度与节奏
整体规划在此前日志中已有记录，这里只做简要回顾：1升2暑假学完了可汗3年级数学，2年级学完了4到5年级，3年级学完了6到7年级，4年级上学期到目前学完了8年级，完全符合规划。总体来看，进度与最初设想高度一致，没有出现明显的“追赶”或“赶工”。
稳定的节奏比单纯的提前更关键。
二、学习方式：以自学为主，家长辅助而非主讲
数学学习的主体完全放在可汗数学平台上，主要采用的是自学方式，娃孩子自己看视频、看例题、做题目。学习频率通常为每两三天一次，每次一到两小时，平均可以推进约 2% 的进度。粗略估算，一个年级的内容大约需要 50 次左右的学习，总时长约 150 天，不到半年即可完成。实践中这个节奏保持得很好。
家长介入主要发生在两个场景：
应用题理解困难时，帮助拆解题意；
概念卡壳时，做少量补充解释。对于后者，我偶尔会在白板上对某些知识点做系统性总结，但总体次数不多，两年多下来不超过 10 次。
需要指出的是，可汗数学对多数知识点而言是
第一次正式接触，承担的是“建立第一印象”的功能。但可汗上的题量本身并不充足，
如果只依赖平台，熟练度和迁移能力都会不足，因此后续必须有其他材料作为补充（这一点后面会提及）。
三、辅助学习：其他资料+校内学习作为“最后一道把关”
补充学习材料主要是新加坡数学的Intensive Practice。我感觉这套题量已经足够大了。另外是竞赛内容的学习，下文提及。
在校内，孩子参加的是数学快班，相当于
超前一个年级。目前4年级，在学校学习的是5年级数学。校内的学习作为最后一道把关，主要起到查缺补漏增强信心的作用。对同一个知识点而言，这种校内学习更多扮演的是“第二遍、甚至第三遍”的角色。娃在校内一直很轻松，而且随着超前幅度逐渐拉大，校内数学整体变得越来越轻松，几乎不需要额外投入精力。
四、后续课内学习
今后两年多，到6年级末，仍然把可汗作为主要学习方式，完成代数几何三角统计等的学习。此后还有PreCalculus的内容，视情况尽早完成。这样能达成6年级末学完中学数学的计划，为后面的AP课程打好基础。
五、小学竞赛拖不得
今年（2025）三月在准备不足的情况下，第一次参加了小袋鼠竞赛，其收获在日志
中有很多细节。此后，学习重心逐步加入了
小学数学竞赛的准备，这段时间的主要目标是2026年的小袋鼠数学竞赛（Kangaroo）。这一阶段的安排，并不是临时起意，而是作为整体数学学习体系中的一个补充模块。早先我的规划就是在提前学了高年级内容的情况下，再准备竞赛。经过深入研究以及结合我自己的经验，小学竞赛的内容虽有开发智力的作用，但其技巧很难迁移到中学内容。由于娃并不需要竞赛作为敲门砖，并不需要在小学竞赛的技巧上过多花费时间，
因此小学竞赛拖不得。我认为这一点对大多数不需要初中择校考奥数的学生都适合，小学竞赛最好不要搞超过两年，在基础扎实的情况下，有两年足够把小学竞赛的内容弄完，剩余时间不如提前学中学内容。从娃的经验看，提前学后，尤其是会了方程法，很多小学竞赛的奇技淫巧都可以避免，因此节省大量时间。
具体对小袋鼠竞赛的准备先从低年级真题入手。我先带着孩子完成了1、2年级的全部真题，在熟悉题型和竞赛语言之后，再进入3、4年级的题目练习。与此同时，娃开始了Beast Academy（野兽数学） 的系统性学习竞赛相关内容，进展很快，到9月完成了2、3、4年级的全部课程。根据袋鼠竞赛3、4年级题目的内容，我对野兽5年级内容做了取舍，大约一半的内容，统计分数百分数等，有意留到明年竞赛结束后再学习。
应该说野兽数学是很好的课外拓展内容，而且是扎扎实实的提高内功，不搞奇技淫巧。很多内容编写得很有玄机，隐藏了大量跟中学甚至大学相关的彩蛋。这套书，应该由懂行的人来指导学生，否则收效不一定很大。我感觉推进得有些匆忙，虽然大量的玄机我都指出了，但娃肯定消化得不好。这套书很值得反复咀嚼。
六、竞赛自学分数波动与调整：消化期
九月之后，竞赛练习中的分数一度出现明显下降，甚至很多以前不会错的题目也错了。事后回看，这主要是因为短时间内大量知识还在消化，尚未形成稳定知识体系。很多以前会的题目，由于有了更好的新方法，尝试用新方法，出错的概率反而增大。这个问题随着知识消化慢慢自动解决。此外，早期的袋鼠竞赛题难度有波动，题目也有一些不合理的地方。（不合理的地方，多是因为出题者想隐藏题目的数学结构，比如不想让学生看出要找公因子，而故意采用拗口文字）。
针对小袋鼠竞赛题目阅读量大、信息密集的特点，我有意识地补充了应用题训练，而不是单纯刷竞赛题。具体做法是引入新加坡数学体系中的应用题与 SAP奥数题目，并按专题进行分类练习。这样做的好处在于，不仅可以锻炼阅读，也可以
反复训练同一类思路或技巧，而这正是野兽数学缺失的。刷题本身并不一定是坏事，适量刷题可以迅速掌握技巧。而且我在指导娃刷题时，直接采用方程法，避免鸡兔盈亏问题的奇技淫巧法。
七、方法取向：不用奇技淫巧，优先通用模型
在竞赛学习中，我一直坚持一个原则：
堂堂正正，不走偏门。到目前为止，我教的都是高观点下的高级但正规的数学技巧，从来没有什么偏门飞刀，也不过细总结题型。数学竞赛看似有很多奇怪方法，但正规的方法都是堂堂正正的，即便是韦神解高次方程的奇怪方法，都是历史上主流数学家给出的标准方法，在群论视角下是正规技巧，只是中学甚至大学一般都不学习罢了。鸡兔问题的非方程方法，我认为都没有必要，非要说假设法可以引导学生产生线性函数变化率的概念，那还不如直接去学习函数算了。这些观点在我以前的日志
里就很详细的论述了。
很早的时候，但凡遇到方程能秒杀的题目，我都把方程法给娃演示一遍，听不懂不要紧，有个印象。大约半年前开始，正好娃学习的可汗数学和野兽数学里都出现了代数式和方程的概念，我便开始反复训练娃学习方程，到目前鸡兔和盈亏这类的问题，娃都能熟练用方程法解决了。到目前为止我没有发现任何小学数学竞赛需要奇技淫巧的地方，这也证明我早先定下的先提前学课内再搞竞赛的路线是正确的。尽早掌握“
变量+方程+结构”的思维方式，也是小学到初高中数学转变的关键。
这与欧美小学竞赛的整体取向是相一致的。相较于国内偏重技巧堆叠的竞赛体系，欧美小学竞赛总体难度并不极端，更强调理解与建模，很少考察过于诡异或不可迁移的技巧。这点我个人是比较认同的。这也从侧面印证
小学竞赛拖不得。
八、AMC8规划：第一个真正意义上的竞赛目标
需要强调的是，小袋鼠在长线来看只是一个支线入门任务。就竞赛而言，AMC系列才是核心。
AMC8是第一个真正具有区分度、也值得系统准备的竞赛。因此，在整体规划中，我把AMC8视为下一阶段的明确目标。
基本安排是：在完成2026年3月的小袋鼠竞赛之后，用不到一年的时间为2027年1月的AMC8做准备。Pre-Algebra的主要内容已经基本学完，后续需要做的更多是整理、复习与结构化。AMC8所需的知识范围是清晰且有限的，这也为准备提供了便利。完成野兽数学剩余的内容，并用AOPS PreAlgebra这本书系统复习相关内容，这本书的内容丰富，有基础题，也有不少竞赛题
。
2026年下半年视情况完成可汗数学中高中部分的Algebra 1和Geometry，这是6年级末学完高中数学规划的一部分。学完代数1，对AMC8而言是提前学后面的知识了，这对解决代数难题有重大帮助，类似用简单方程去解决小学竞赛题，也为2027年学完Algebra 2做准备。几何部分按理说是大部头，因为涉及证明，但可汗数学里的相对简单，学完可以作为证明的入门，但以后还要花不少时间训练平面几何的逻辑证明。在学习上述内容时，可以同时开始尝试AMC8真题与模拟题。
我自己把可汗上的高中数学都做过一遍，发现没有复杂卷技巧，比如三角函数和差化积部分。这样娃就可以摒弃很多无用的技巧而直接练习核心有用的内容，这将大大提高效率。
AMC8 2023 #17
九、AMC8目标设定：中学竞赛急不得
对5年级和6年级的参赛者，在25道题中在做对15题，可以获得Achievement Roll。这个目标相对容易达成。如果准备时间不够，可以挑选一部分内容学到非常熟，确保能稳定拿下前13到14题左右，然后剩下的难题靠猜，猜错不扣分，基本就可以完成任务。如果实际能力能达到做对15题，其他的靠猜，则更加保险。这是针对第一年的参赛操作，以后参赛可以有不同策略。
把小袋鼠与AMC8放在一起看，我认为
小学竞赛拖不得，中学竞赛急不得。小学阶段，如果决定接触竞赛，就应该尽早完成尝试，不宜长期反复消耗时间与注意力；而真正需要长期投入的，是中学阶段的代数、几何与逻辑体系，那时再谈更高层次的竞赛才有意义。AMC8是一个重要节点，但不是终点，后面还有AMC10和AMC12。它的价值不在于分数本身，而在于检验此前数年数学学习是否形成了足够稳固、可迁移的能力结构，为后续数学乃至其他理工科的学习打下扎实基础。就中学竞赛本身而言，从5年级到大约11年级，娃大致要进行6年。
十、小结
当前的教育环境决定了采用何种路线。大环境是校内学习松散，考核要求不高，也没有过度卷数学技巧。这反而给自主学习留下了教大空间。我可以自由给娃选择进度控制。同样由于快速通过小学竞赛内容，我可以较为自由的选择教授哪些竞赛技巧而抛弃很多奇技淫巧。小学数学竞赛不要拖，要迅速进入中学知识的学习，尽早建立“变量+方程+结构”的代数思维方式。中学数学竞赛不要着急，在扎实课内知识的基础上，适当学习更多准大学知识，掌握更多正规方法，才能应对多变的竞赛内容。
竞赛跟课内学习一样，要堂堂正正的学习正规知识，不要神秘化高级数学知识，不要过度为了应试而背题型，不要过度刷题。
这些总结只是一家之言，对某些情境下也许不适用，比如课内压力大升学有奥数要求。仅供参考。
归巢鸟文于2025年12月31日
2016
