妈妈自学数学启蒙《如何唤醒数学脑》

——2018年第3篇自学日记

作者开篇引用了爱因斯坦的话，对我的口味。

——“教育就是当一个人把在学校所学全部忘光之后剩下的东西。通过这股力量培养出能够独立思考、行动的人，并解决社会面临的各种问题。”

作者：永野裕之，日本有名的数学培训学校的校长，职业音乐指挥家。相比上本书妈妈自学数学启蒙《一个数学家的叹息》(点击阅读)，这一本更接地气。但其实细读就会体会到，一个日本数学老师、一个美国数学老师，他们对数学精神的理解有很多共性。

快速解题不难，但不是真正的数学力

只要多接触各种题型，懂得将问题分门别类，然后套用既定的解法，就能够快速解答应用题。但是数学本来就不是一门讲求“速度”的学问。

将已知的题型分门别类并加以解析，是计算机最擅长的工作之一 …… 我们人类所需具备的能力，是针对那些尚未建立算法（处理方式）的未知问题提出解答方案，即使无法解答也要找到解答的方向。这才是真正的数学力。

明明小学时数学这么受欢迎，为什么到了高中就反而讨人厌了呢？

用典型解法破解典型问题的小学数学，就像依照攻略的指示玩游戏一样。读了电玩游戏攻略上写的“往右边走有宝物”，按照指示就能获得宝物，这种喜悦是理所当然的。……然而升上初中后，状况可就不一样了。即使像小学一样，用同样的原则背诵解法，但是真正上了考场，也不一定能拿到高分，因为初中数学有很多题目光靠死记硬背是无法解决的，而且这种现象会随着年级的增加越来越明显。

数学不好的人，并不是因为没有数学天分，而是因为用了学习算术的方法来学习数学。……我所做的只是让学生停止死记硬背，尝试理解各单元的内容、公式和解法的意思，然后练习如何用稍微有别于以往的视角解读数学而已。

学好数学最应该具备的态度就是思考“为什么”，这也是学习数学的起点。

之前一位数学老师说我高中数学没学好，是因为基础没打好。现在，这个所谓的“基础”终于寻到了一个更根本的说法——数学视角。

昨天小乐玩数学游戏遇到了乘法。1x1,1x2,1x3……小乐满眼的问号看向我。姥爷的解释是1乘几就是几，记住了。但我知道，数学启蒙不是让孩子最快的得到结果，而是给他一个最简单直观地理解方式和引导。所以，很自然我会告诉他乘法的意义。不过现在回想起来，更好的做法是找机会告诉孩子，我们为什么要发明乘法。乘法不光带给我们乘法口诀，它有更宽广的思维意义。(下面会提到乘法的思维模式)

关于乘法来源的启示，我之前在小乐数学游戏||摆小摊子（点击阅读）里曾经提到一本数学绘本《阿曼达的疯狂大梦》，还有“我是数学迷”系列里的《彼得智斗侏儒怪》都是很好的引入故事。

这也是我为什么要去研究数学启蒙，这些学习给了我在面对孩子求知时的关注方向和回应思路。

比如小乐在计算10+3=？时，姥爷关注的是他算没算出来。我关注的是他用了什么数学策略算出来的。他现在可以不用从1开始数到13，而是直接从10来数到13计算10+3了，这是在他原来水平上的进步。而我一直忍住，不去提示他可以这样数，等待他自己发现的过程。

光是把“分数的除法要上下颠倒”当作一项知识，顶多只称得上是算术的技巧而已，不过一旦将焦点放在“为什么这样可以得到答案”上，即使是分数的除法也能够成为锻炼逻辑力的材料。也就是说，这才是标准的数学。 
 

如果按爱因斯坦说的，忘记所学内容后留下的是真正的力量，我希望小乐在10+3上留下的：是在他数了n多遍的经验总结后，分析出从10数是一样的结果；是他积累了逻辑经验和获得一个新视角，而不是只记住10+3理所当然等于13。

欣喜的是，我很快就看到了个小结果。昨天，他在饭桌上考我10+4等于几，我说10。于是他很自信地摇头说，不对。我惊讶地问为什么？他说因为10+3，已经有10了。我连忙说，所以10+3一定大于10对吗？他点头。其实这就是他在从10开始数后的一种经验感知的结果。

数学式思维具体带来什么?

数学思维 >>>理解力+开拓新思路解决问题的能力+说服力

数学思维方式可以理解为这样的过程：

搜集线索（解决条件）

明确目标、问题

逻辑分析解决

抽象归纳经验

用在其他类似问题上 

1、2就是抽丝剥茧的过程，就是提升理解力；3-5是将事物极简化，开拓新思路；整个过程清晰了就是有了说服力。

数学思维怎么落地？

数学式思维的7个方面：

整理

顺序

转换

抽象

具化

逆向

美感

这七个方面不是并列平行的，而是不同视角去看问题。它们之间也会有交叉。

我觉得对数学启蒙的启示，是理解这些视角，应用在生活中，直接传递思维模式。书中枚举了很多例子来解释这七个方面，我只说说给我启发最大的一些元素。

分类

通过不同的分类标准，找出隐藏信息。

比如在书中，作者把葡萄酒按年份分类的话，提供的信息只能是哪些年份没有，哪些有了。如果有一瓶年代久远的似乎更体面一点。仅此而已。但是如果按照产地来分，就可以出制作工艺，葡萄品种等更多和葡萄酒的本质——味道，相关性最大的隐藏信息。

在数学启蒙材料中，有很多涉及分类的主题。一般也就是请小朋友按颜色分类，按数量分类，按形状分类这几种。我脑中就一直有一个隐隐的问号，这就完了？就好像一句话只问了一半的感觉，让人半吊在那，不知去向。现在终于明白，分类不是问题本身，是为了一个问题而使用的信息搜索方式。那么在生活中，在我们和宝贝传递这种数学式思维的时候，它应该有一个真正的问题作为背景才更合适，才是完整的数学思维的过程。

用这个思路去看相关主题的数学绘本，比如：“数学启蒙”系列的《小小消防员》、“你好！数学”系列的《去郊游》，我们就知道给孩子讲的时候，出发点是找出隐藏信息，解决问题。这是主线，而不是直接关注在有几种分类上。

乘法

加法是相同性质东西的计算。乘法是不同性质东西的计算。

乘法是通过把不同的东西结合，创造一个新的事物。而且横轴上的一个元素，会同时作用于纵轴的所有元素。

1+1是两个独立的1；而1x1可以代表1行1列的组合；1x1x1，则代表一个立方体。

加法增加的是个数，乘法增加的是维度和次元。

次元的增加，意味着一个远超过想象的新世界即将在眼前展开。

函数盒子

函数的函就是“把信投进邮箱里”的“函”，也就是“盒子”的意思。换句话说，“函数”就是“盒子里的数字”的意思。……这里所谓的“盒子”有两个口，一个是“输入口”，另一个是“输出口” 
 

安野光雅的“魔法机器”和永野裕之的“函数盒子”有异曲同工之妙。放进一个自变量x，变出一个因变量y。中间就是秘密的加工过程。

用这样的方式，来表达抽象的概念和过程，真是启蒙最好的方式。启蒙的过程，其实是从形象思维到抽象能力的过程。用这样的引入方式，就可以从每天生活当中找出活生生的事物来游戏数学思维了。

具体+抽象+具体

我越来越意识到，找到一个巧妙简单的切入点，会让数学启蒙事半功倍。而启蒙的核心不是定义、公式，而是数学思维在生活中的直接传递。

作为一名数学老师，我经常苦苦思索如何才能把数学讲解得简单易懂，其实关键就在于能否结合听者已知的知识或经验，尽可能扩大听者的想象。 
 

这个具体 》抽象 》具体的前半步“具体到抽象”，就是在孩子已有的知识经验上，先具化，然后抽象出共性。

通常最简单的方式是来一本数学绘本或者结合生活，引出概念，做个总结。但往往也就到这里了，我们总以为升华就是最好的结局。比如我们看完了《小小消防员》，OK这就是分类啦！顶多结尾再做几个练习巩固常见分类。但其实这并不是一个闭合的环，确切地说，这是中断了螺旋曲线进入下一个周期。后面一定要找机会像波澜一样推出去，冲破思维的限制，哪怕波澜再小，哪怕面对无数的不确定性。继续向前，发散出无数的可能，才是数学的意义。

后半步“抽象到具体”怎么做？

我们在参加亲子活动时，很多都会以一个手工作品作为结尾。就好像一个讲交通为主题的故事会，结尾来一个警车涂色手工。说实话，这是最容易的活动流程，不用冥思苦想，又好像顺理成章，有个东西给家长看到。我之前做过很多用手工来呈现的故事会，但是我知道那不是手工的全部，手工可以更好地服务于内容，它是一种解决方案，是帮助你在更多层面上再现抽象。所以，后面的具化，应该是一种抽象为起点的再创造过程。

感性和理性的相互成全

即便是“逻辑思维”这么理性的词语，也不能否认感性对它的作用。

无法用一颗感性的心倾听其中讯息的数学家或物理学家，绝对不可能成为一流的研究者。 

我认为数学和音乐存在着两项共同点，一是两者皆为美丽的逻辑，二是接触这两种学问的人都必须具备丰沛的感性。 

我认为最重要的是要培养一颗能够体察逻辑之美的心。如果只是被迫接受维持逻辑思维的观念，那么当我们面临越重要的关头时，就越容易流于情绪性而非逻辑性的思维模式。 
其实不仅是音乐，举凡文学、电影、绘画或雕刻等，所有艺术背后的逻辑都与数学息息相关。 
 

在这里，我理解的“感性”代表美的感受，“理性”代表合理。一首打动你的曲子，既包含了精密计算的逻辑，也需要作曲家、演奏家和指挥家用一颗热诚的心，向人传达想传达的感觉。

“对称、简单、统一” 这些词即用在数学里，也用在美学里。合理性让事物更具趋近于美，美感也成为了逻辑的动力，目标和蜕变的瞬间。在数学启蒙里，我正尝试去寻找他们碰撞的边界。

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妈妈自学数学启蒙《一个数学家的叹息》（点击原文链接进入）

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