数学记录--小学一年级（下）

小学一年级（下）

2022-3-16

今天讲了一个数学家笛卡尔由蜘蛛网而来的灵感创造出坐标系的故事，用坐标系可以把几何图形和代数方程结合起来，把点和数结合起来。讲到这里，我想给乐天解释一下什么是坐标系，我举例说：比如在我们的卧室里，你随意选择一个位置作为原点，用（0，0，0）表示，然后就可以用数来表示出空调的位置，或者你本人所在的位置等等…我问他你能听明白吗？他点头说嗯，还反问我是不是就是说出它所在的经纬度的意思啊？哈哈哈看来他明白了点和数之间有关系，这极大的鼓舞了我要继续传道授业解惑。然后我就坐在床上开始空手比划，假设这是X轴，y轴，z轴，假设往这边是正，往那边就是负，记住啊，东西南北上下 、xyz、正负……我坐床上指点江山，乐天上串下跳比比划划配合，特别地空旷特别地抽象，我感觉我自己都快被自己说晕了，也不晓得这孩子能理解到哪？突然灵机一动，要是有个模型就好办多了啊，于是让乐天去拿三块磁力片来，结果乐天回来时直接就给我组装好了，一个三维直角坐标系（相互垂直的墙角状）。我好是欣喜啊，虽然语言还没表达的那么明白，但是他已经知道我心里要表达什么了。对着模型几句话就解锁了三维空间直角坐标系，随便给个点就能准确说出坐标，给出坐标也能确定它在空间的位置，未动一笔一纸，就解决了。只能说这理解能力可真好，空间感也实在太好了！（附：立体几何是我绝对的噩梦，必须承认人和人之间是有差距的。）

2022-3-26

摆着摆着突然说这5个有120种摆法，就是5的阶乘的意思，爹妈俩人相视一惊讶，乐天说不信你按一下计算器，就按5！但是我俩并不会这个功能，于是又拿出计算器来给我俩演示了一把。

2022-3-28

早上在网上看见一个人提个问题，验证孩子的数感是否真正好？就是111的因素分解，如果孩子能在没有家长的引导下说出来3×37，数感就是很好了。于是我问了乐天，他思考片刻真的给出了答案，我问他怎么想出来的呢？他说111这个数就是能除尽3的，还补充说如果一个数把它的几位数加起来和能除尽9，那这个数就能被9整除，这样的数你说神奇不？然后算111除以3，他是这么做的，3×33=99，还剩12，所以33+4=37，完事！

2022-3-28

请你仔细看这个书的封面，你能看出来什么？请你仔细看封面上这个楼梯，你能看出来什么吗？估计给我看一年，我也发现不了问题…某一个晚上临上床前，乐天漫不经心地错把这本书当成iPad扔到床上，我就又把书给他撇回去了，他就指着这个封面跟我说，这个楼梯有问题，不对，这不可能！这就是错觉！我震惊的不要不要的，问他：你是啥时候研究过这个楼梯吗？他说：“我就在刷牙的时候看了一眼，然后就在心里数了一下，发现怎么走也走不到尽头。我就想找个最低点，却怎么也找不到，一直上楼梯最后还回到原点，所以这个楼梯很奇怪，不可能存在！”我已经被震惊的无话可说了，我震惊于他的观察力和如此笃定地给出结论时的淡然神情。我不得不说一下，关于这个图我白天刚巧研究过，准确的说是提前看剧透了，提前翻看目录，看到这个不可能的图形彭罗斯阶梯，素我无知没听说过啊，于是饶有兴致的看了起来，按着文字的指引我也数过楼梯，心里一直存着好奇，直到看到最后一句不可能存在，我这才死心，相信了标题里的不可能原来是真的不可能！乐天就无意中瞥了一眼，就留意到它的蹊跷，并言之有据的说出了它的不可能，更令我佩服的是言简意赅的几句话和书里的语言竟然高度相似，所以这篇文章我就不需要给他读了。

2022-3-28

居家半个月，闲来无事做点大白本，一开始被第一讲给吓住了，所以原定的计划是每天做1-2个题，这样半个月一讲，5个月就能做完整本书了。但实际做起来发现一年级真的还好，不至于题都看不懂那程度，每次一做就停不下来了，所以每次乐天直接就做完每一讲的优秀篇的8个题，目前正好做完所有的优秀篇，接下来创新篇不知道怎样？我畅想把他的学习过程能记录下来，但愿我能坚持吧！

2022-3-29

早上醒了就给妈妈出题：1/2+1/4+1/8+1/16+...=？然后爬出被窝画了这张图拿回来。嘿这就是数形结合思想啊！

2022-3-31写一道题的思维过程

如题，问可以得到几个正方形？乐天开始的答案是14个，我翻看答案告诉他20个，于是继续想，马上又找到斜着的4个，我觉得挺巧的，然后挺赞赏地顺嘴说了一句原来是边长根号2的啊！姥姥在厨房烙韭菜盒子还接了一句，根号2都会太厉害了！然后我们都无法再突破了，乐天这时说了一句，有边长根号2的，那有没有根号3，根号4，根号5的呀？其实他并不知道根号的含义，但这句话却让人醍醐灌顶，所以我就想那就此讲讲勾股定理吧，于是找了一个斜边为根号5的三角形，写下了1平方+ 2平方=根号5的平方，我刚画完这条根号5的边（红色线），乐天就又画出了另一条根号5的边（蓝色线），接着一气呵成的就画出了这样两个正方形，画完好得意的说我画了一个八角星！这就是教学相长的最好诠释了吧！没有一个老师不喜欢能给自己带来思维提升体验的学生吧。

目前和乐天做一年级奥数，还从来没有提前备过课呢，就想到哪说到哪，还算不上老师的角色，只负责读题和对答案而已，顶多算是个学伴，有一天我翻了一下二年级大白本，然后又默默合上了…感觉自己的作用越来越渺小…

2022-4-5

今天做到这个，让我想起去年还在学前的乐天就挑战过高级里这个题型，当时完全没有任何的基础，任何概念，连砝码是什么都不知道，更别提套路了，但就凭着一腔的计算热情，乐天自己总结出来了1，2，4，8的砝码可以称量出1-15克的质量，然后用闪电般的灵感说出了如果有1，2，4，8，16，32这几个数，就可以得到1-63的数。他当时是借助那几张他天天玩的读心卡片，和这个联系起来，得出的这个结论，直接给这个题型做了现场拓展。当时的我完全在状况外，即使现在我还是震惊于他是如何联系起来的。当时乐天给我的解释是：他在玩卡片的时候，把这些数字都挨个加过，发现可以出现1-63的结果。今天他给我的解释是：以此类推，15+16=31，31+32=63，63+64=127…显然今天的乐天更加理性，驾驭的如鱼得水！由难入浅，别是一番风味在心头！那些看似毫无意义的计算，才是解锁这些规律大门的金钥匙啊！可是现在谁还会回去去做那些简单，又无意义的事情呢？

就是这几张纸，玩读心游戏，乐天把左上角的数字，他们的每一种组合都加过了，能得到1-63的数，若不是遇上这个砝码题，我永远都不知道他干过这样的事情！

当时的题就是这样的，学前的乐天给我拓展出个规律，至今我还很惊讶！

2022-4-5

直线射线线段的区别，乐天可以说出无限延长这个词，我没多想就指着没端点的线说：这个线就是能无限延长的对吗？乐天纠正我说，不对，这条线有点弯，尽管非常非常小，但是如果延长最终他也会连上形成一个圆，所以只能说是有限延长，但是通篇可没提到有限延长这个词啊，乐天想的有点多，但我却觉得好有道理啊！

你知道怎么测量金字塔的高度吗？泰勒斯解开了测量金字塔的千古难题，原理是他站在太阳下面，每过一会儿，就让人测量他影子的长度，当影子的长度跟他的身高相等时，他立即跑去测量金字塔影子的距离，进而算出金字塔的高度。当我想写这段的时候，我又来翻书看了一遍，在想该怎么措辞来写，这时恰好乐天跑来看到这张图，然后就巴巴地给爸爸讲怎么怎么测的，他还特意强调在早上人站在太阳下面，让影子和人的身高一样，还补充说其实二倍的时候也可以，这是书里根本没有提到的，也是我所疑惑的。第一遍读的时候，乐天就说其实他也想到了用影子的办法，所以是真的懂这个原理。而我都读完第二遍了，还傻乎乎的不知道该怎么说呢，真是一看就会，一做就废。

2022-4-6总结一下居家二十天的学习成果 1.数学：提前完成计划，直接干通关了。《学而思大白本一年级》原计划4个月，实际用时接近20天完成。《新加坡挑战数学》原计划4A用四个月，4B用一个暑假结束，结果用了5天就把4B给做完了（4A还在租房那里，看来也用不上了）。此外每天亲子共读《万物有数学》，93个数学故事，一共8本，在这20天里都读完了！总结下来一看就是本末倒置，老师布置的作业一个也没做，最该在这个年纪做好的事情都没做好，比如阅读写字和英文，比如艺术特长画画唱歌跳舞，都一塌糊涂。而不该在这个年纪发展的数学科学思维，似乎提前了好多，而且这惯性一上来，有点刹不住车了。这种瞎胡闹的培养方式谁知道是对是错呢？

猪队友看完我这一天呕心沥血写完的总结后，也总结了一下说：我了解我儿子了，数学超神，语文及格，英语拉登啊！我：$&*#%～

2022-4-12

我为数字狂

1.相亲相爱的数220,284 你可以和你的好朋友说你是我的220，我是你的284

2.珊瑚非常珍贵，因为每年只能长1-2毫米

3.光速是30万km/s,光从月球到地球只需1.26s,从太阳到地球大约8min

4.1年=31536000秒，1天=86400秒

5.地球的周长是4万公里

6.水星和金星的卫星数为0，地球只有1个卫星，火星的卫星数是4，木星的卫星数是63，土星的卫星数是62，海王星的卫星数是17

7.-200多摄氏度空气才会变成液体

8.物理学认为建筑物想建多高都可以，只要地基足够深，有一个建筑师就想把楼盖的特别特别高，他没有考虑风的问题，还好有一个人及时发现了这个问题，目前世界最高的建筑物是迪拜塔828米

9.全球森林每日白天能吸收200亿吨二氧化碳，释放320亿吨氧气

10.在家喝的特仑苏是250毫升，能量309KJ,蛋白质3.6g，学校发的光明奶是200毫升，能量271KJ,蛋白质2.7g，雪碧330毫升，每100毫升的能量是140KJ,脂肪和蛋白质是0。喝个奶，把配料表看个底朝天？

记住这些数字有什么用呢？？不占用大脑空间吗？乐天说人的大脑有140亿的脑细胞，百分之80-90都没有利用，大脑越用越聪明。

2022-5-1

这个杯底是十四边形，高斯用尺规作图画的是十七边形，而我用积木摆的是十二边形。

2022-5-29

《挑战数学》高级5A，两周做完，做些记号。

第一章数字谜题 字母算术，出现了乘法竖式，乐天说我没学过呀，看来不得不讲乘法竖式了，举了4个例题，第一遍我给他讲原理，第二遍让他试一个，我发现孩子记不清哪个数和哪个数相乘的顺序，一通乱加乱乘。第三遍我把数编上序号谁先谁后次序都要记住了，第四遍练了一个12X34=？乐天一上来列的就是和我的是拧个的，也就是34X12的竖式，乘法竖式接受的不是很好。

第二章 谜题与游戏 之前玩尼姆游戏时很懵，这次玩完马上就能找到策略了，如果是两个人玩尼姆游戏，乐天一下就能找到致胜策略。

第三章 几何图形 平移翻转旋转、折叠交叠这些概念在4B里都出现过，那时还需要用实物来帮助理解，明显到5A里就轻车熟路了。图形连接这节乐天的表现就厉害了，第一个是五格拼板，他一眼就断定这个就是前言里出现的那些图形，而且爸爸也给做过道具，所以对这些图形都已经烂熟于心（我看见这些图形它就是题，联想不到其它）。多联三角形和不同图形拼接，需要啥图形他都有道具，就是磁力片，噼里啪啦一顿拼，不带重样的，我的大脑内存不够，反应速度根本跟不上。

第四章 图形规则 主要是寻找数字规律，之前知道斐波那契规律，这回新接触了谢尔宾斯基三角形，接着乐天还给例题新起个名字叫谢尔宾斯基正方形，一气呵成说出1, 8, 8X8, 64X8, 8的四次幂… 我连声哦哦哦… 现在回头看，才明白原来谢尔宾斯基的规律就是a的n次幂，书中并未做总结，我们做的时候也只是就题论题，并未深究，何况如果乐天总结不出来的话，我就更难看出来了。但我反而觉得这样的留白更好呢，因为很多科学规律的形成也都是螺旋生长的。可能正是我这种野生的喂数学的方法，乐天才每天吃的津津有味。

第五章 测量法 沙漏问题，乐天思考的比答案更严谨，就是三分钟沙漏流完后，把五分钟沙漏停下来，我问怎么停下来呢，他说横过来，然后再继续，显然乐天把这么细小的误差都考虑进去了，更准确啊。 水桶问题，乐天又有自己总结的规律，就是3L, 6L, 9L的桶只能量出3,6,9，这个去年就已经总结出来了，今年又说了3L，4L，7L的桶能把1-7L的水都量出来。 不准时的钟表，看到钟表题乐天还若有所思的说：我就想把两个指针重合的时间那个问题想明白（一年前的题）！

这本书做完的感受是，思维上还可以跟得上，大多数例题几乎不需要它的提示能解答，大部分题都没有对答案，因为还是觉的思维锤炼的过程最重要，书里很少有结论性的东西这点很好，朦朦胧胧的感觉不错，思维就不会受限，做这个书的过程真的就是一个探索数学世界的过程，不会扼杀小孩子的好奇心与创造性，数学就非它莫属了！

2022-6-3

2022-6-11

善于观察，善于联想，善于总结，爱说专业术语！

1.六边形蜂巢排列无缝隙，圆形排列在一起一定有缝隙，但会有密堆积和非密堆积两种形式，密堆积这个词在什么地方我无意中说过一次，就被他给记去了。

2.互质数：这是今年高考数学一卷的考点，我记得在《万物有数学》上有这个概念，两个月前给乐天念过一次。今天我说：来，大家一起做一个高考题！爸爸不知道啥叫互质数，于是乐天来解释：就是公约数只有1的两个数，任意两个质数都是互质数，任意两个相邻的数都是互质数。乐天就这三句话，其实我也知道互质数的意思，但是如此精确的下定义以及概括总结的能力，我是没有的！他这三句话也浓缩了这一章所讲的所有内容！可见他把数学当故事听，听的是多么走心。高考原题：从2-8这几个自然数中任意选择两个数，是互质数的概率是多少？乐天开始做题：首先这几个数的组合有几种？6+5+4+3+2+1=21，不是互质数的组合有：24；26；28；46；48；68；36，一共7种，乐天的思路就是这样的，很快，枚举法！

3.缺8数：某天谌昱来家里，用火柴棍摆数字刚好少摆了一个8，乐天就说缺8数，连才华横溢的谌叔叔都没听说过缺8数，乐天说这是一个神奇的数字 12345679*9=111111111，…… 12345679×81=999999999……《万物有数学》读过一遍，我只知道它神奇，具体怎么神奇我可不记得。

4.尼姆游戏：和谌昱玩尼姆游戏，两个爱思考的小娃玩的特别投入，乐天一边给人家挖坑一边鼓励人家玩的挺不错呀！还在一旁碎碎念说你赢的机率是33%，我赢的几率是66%，让一旁的谌叔叔震惊了一下，但最后还得是谌叔叔厉害，看了两轮之后竟给出个公式来！

2022-6-11

餐桌上由缺8数和互质数引发的一场关于数的讨论

1. 亲和数，相亲相爱的数，乐天说220和284是最小的一对亲和数。我问他这两个数具体是什么关系呢？220的因数（除去本身）之和为284，284的因数之和是220。他真的能答出来，而且记得太清楚了，是因数之和，还不忘强调除去本身，因为他抓住了284大于220，不除去本身不可能成立！

2. 完美数，乐天说千万别把完美数和亲和数整混了啊，都是因数之和，但是完美数是因数之和等于这个数本身，6是最小的完美数，1+2+3=6

3. 缺8数，12345679乘以3的倍数会出现三位一体的现象，12345679分别乘以1、2、4、5、7、8则答案中的数分别缺少8、7、5、4、2、1

4. 走马灯数142857，世界上最神奇的数字之一，绝了！

以上这些都是在《万物有数学》中听过一遍，不止记住了数字，还能具体说出咋回事，讲书的人早已过眼云烟，妈妈表示骨折式仰望！数字的世界太深奥了…慢慢的探索吧！

2022-6-12

躺在沙发上跟爸爸玩计算器，按出一个！，爸爸并不知道！的含义，乐天给他讲解，他还大惊小怪的说：乐天居然会用阶乘，口算7的阶乘。然后还随口问乐天一句，学阶乘有啥用啊？乐天回答他：阶乘就是排列组合，比如7个数，它的排列方式有几种就是7的阶乘。然后乐天还顺带回忆了一下小时候给姥爷讲5个保龄球排列的往事……知其然还知其所以然。 反正我听到阶乘有啥用这个问题时，脑中是空无一物，不知从何做答！但反过来要我做一道排列题，应该能会，这也许就是数学思维的差距吧！

2022-6-12

爸爸给出个解方程，x + y = 6 , x - y = 3 ，我猜他不能会，没想到乐天不一会真说出了答案4.5和1.5，我问他怎么做？果不其然他是试出来的！让他拿笔试试解方程，显然之前讲过一次他没记住。5分钟了，笔尖都玩断了，还没挪窝，一个人在那不动声色的搓铅笔尖，临睡前我可不希望他找事，该干啥干啥没人理他。又过了一会儿，他发声了，开口还很谦虚，说：我就是瞎解的，一个数加y比减y多3，所以2y=3，y=1.5。 原来这么长时间他就没放弃过思考，看着表面在玩，其实一直在想。我也意识到一个问题，之前我教他的两式相加或相减，他根本就不懂所以也记不住。数学真的需要自己反复的去思考，感悟和总结，才能理解数学概念原理的本质和根源，这个过程绝对不能少，如果不得法的去教，去训练解方程，他也就浅尝则止了。 从小注重培养包括计算能力在内的扎实的数学基本功没错，但更要加强对数学概念、方法和原理本质方面的学习和感悟，真正从根源出发，回归数学本质，提高数学素养是关键！

2022-8-1

暑假开始，《挑战数学》6A开始了，今天做了四道题，斐波那契数列的应用，因为觉得对这个兔子数列很熟悉了，所以就没有任何铺垫，拿过来直接就做题了。所以我们并不知道是要应用斐波那契数列的。

第一题直接就把我们难住了，爬梯子问题，也没看旁边的提示，乐天一上来就列出了6种方式，然后发现第二种方式里还有9种爬法，第三种方式竟然有28种爬法，第四种方式用枚举法实在受不了了，乐天说也许出题人没想那么多，可能答案就是6种吧，我想想有道理，结果翻完答案一看是89种。那就是之前想的多是对的，但怎么能把这89种算出来呢，是个大活。总之在彼此的鼓舞和讨论中获得了灵感吧，第四种用4个一级和3个两级的组合，应该就是7选4或7选3吧，我用公式算了一下35种，把几种形式里的组合加起来果然是89种！顺势就讲了一下排列组合的计算公式，以后再算组合问题就不用加法了，简化了很多。 看了答案解析发现是类推，这是一个兔子数列，但我总觉得这样好像讲不出道理呢！我们的方法虽很具体但是也不适合解题呀！ 第二题蜂巢，乐天说这不就是一样的嘛，枚举法试到5，然后推算到7，直接用上了兔子数列！ 第三题生物增长规律，我读了两遍题，完全懵的状态，乐天说这不就是兔子规律嘛！于是合上书，在草纸上画出了大兔子生小兔子规律，1是小兔子，2是大兔子，乐天在那写的起劲，我在旁边看的一脸懵啊，想当初我们一起读的兔子数列的故事，怎么现在我一片空白呢？写完了乐天给我讲是怎么回事，我感觉对于这一问题的领悟升华了，但也不排除一听就会一做就废。乐天让我数数到第10天一共有多少兔子，这个题的答案就是多少！说实话这个题我还没太读明白呢，就这么草草收场了！ 第四题瓷砖，一上来我脑子里想的就是跟爬梯子一样看看有哪些组合，而乐天一上来就说两块砖有两种，三块砖有111，12，21三种，所以8块就是 34种！ 看看这思维的差距，都做到第四个题了，我还没上道呢，人家做第二个题时就已经会用了，而且在第三题时自己发现并回归了本质。其实做到最后发现这四个题其实是考察一个核心内容，但你能在做题之前发现它的本质吗？显然大多数人不具备这样的能力。如果把解题分为三个层次，一是毫无头绪，二是会用套路技巧，三是反套路清晰本质，你在哪个层次上呢？ 反思自己，教学相长。-----陪娃有感

2022-8-12

关于镜像这个问题，乐天写完答案我是翻到背面直接去看背影的。然后我问乐天你怎么知道的是56412而不是21465啊？乐天说：在镜子里就是要反着读呀！ 然后回忆说：我在租房子那上厕所的时候，经常看镜子里热水器显示的温度，每次我都试着读一下，然后再回头看一下读的对不对，就是反着读的！ 他这么一说，那段艰辛的时光仿佛又跃然于眼前，我也曾无数次看过镜子里这个数字，然并卵… 原来知识都源于生活呀，尽管从不曾与人分享，但知识的种子早已在你心中生根发芽，最美的花开在最安静的地方！

2022-8-20

阶段总结

挑战数学6A完成了3/5，大白二年级完成1/2。 学而思大白优秀篇以get乘法竖式计算收官，最后一题三位数乘三位数的虫蚀算问题，我只给了他些许引导，乐天中间一度思绪非常混乱，看我声音提高八度，他就非常谦卑地随我说一句他跟着重复一句，很怕我不教他的样子，最终还是靠自己穿越重重迷雾逐渐清晰。对一个连乘法竖式还不会列的小孩儿这题属实是一个大怪兽了。解决了大怪兽后这自信心就爆棚了，多位数乘多位数随便来，一边列式还一边咧着嘴呵呵乐，草纸非常工整。 学数学以来，第一个不顺利的点就是乘法竖式，我给他讲过两遍，他还有各种混乱，我也不明白这难在了什么地方，于是按下不提，冷淡了一段时间！而大白的开篇与收尾都是多位数乘多位数，想着这回怎么也逃不掉了。但有了之前的铺垫，加之深入浅出，循序渐进，或是时机火候到了，反正这次一下就开窍了，乐天会了那就是真正的懂了。 写数学题远比吃饭快乐很多…

自从学会了乘法算式之后，就自己给自己出题，然后自己再拿计算器验证，算了四道题之后，自言自语说要再练个小一点的数，于是有了124*13，说这个数太小了，比梵蒂冈还要小啊，算完结果之后说不对，这结果比梵蒂冈人口还多呢，还是梵蒂冈小啊！昨天他主动说要算一个乘法的虫蚀算，又求我教他除法算式，除法显然比乘法接受起来容易太多，一点就通了。数学技能+1