小初高数学路线之几何篇

代数从小学到初中，进一步到高中，是遵循着非常清晰的几条脉络一路直上。 而几何由于研究对象的关系，从小学到初中上半段，研究的对象其实是一样的，区别就是小学侧重于直观认识，初中侧重于定量的分析，整个脉络呈现出一种螺旋上升的态势。    

到了高中，几何也倾向于代数化，无论是空间向量解决立体几何问题，还是解析几何，清晰的展示出这种倾向。

所以我们可以说，如果不考虑中考，从重要性上讲，代数是更重要一点的，其次是几何，最后是概率统计。

先来分析小学的几何内容！

小学几何的主要内容可以划分成几部分： 位置、方向，几何体（长方体、正方体、圆柱、圆锥、球）的认识以及相关的体积、表面积计算，几何图形的认识以及相关的面积计算，图形的运动（轴对称、平移、旋转），测量长度、角度，三视图。

一年级上册的几何内容主要有三个： 位置、认识图形（一）几何体的认识、认识钟表。

位置和方向要注意相对性和绝对性 ，比如前后和左右上下都是一个相对的概念，要看参照物的。

但是方向比如东南西北是绝对的。

老实说，小学把几何体的认识放在小学一年级上册是非常好的举措，对于学生建立空间感很有用！

小学一年级上册 先感受几何体的直观特征，包括长方体、正方体、圆柱、球。

然后在一年级下册 再认识图形，包括长方形、正方形、平行四边形、圆形、和三角形。

这里主要是让学生对几何图形有一个认识，包括几何图形的拼接。

说到这里，说一点闲话， 相对于代数的严谨逻辑，小学的几何编排也不是特别严谨，毕竟内容有限，所以如果想超前学习的话，其实可以从几何入手，只要孩子学会了测量长度和角度，很多几何性质都可以通过测量发现。

其实是亲子学习，培养学生动手能力，观察能力、归纳能力的绝好素材。还有某些几何图形可以看做是几何体的面，在课文以及课后习题中都有所体现，这其实就是涉及到三视图了。

说到三视图，就要多提一下，没有想到小学教材里把三视图讲了这么多！

三视图从一年级下册开始涉及，到二年级上册观察物体（一）、四年级下册观察物体（二）、五年级下册观察物体（三），七年级上册几何图形初步，一直围绕这一概念在不停深入！

但其实内容并没有太多变化，本身也并不慢。

三视图虽然在高中新课标中已经删去，但是对于培养学生的空间认知，几何体和平面图形的转换能力，都很有帮助。

其实可以酌情将此四节放在一起讲解！这是没有问题的，完全可以通过做游戏的方式进行！作为培养孩子空间能力的练习方式！

二年级上册，开始学习研究几何的工具，长度以及角。

在小初阶段，角的概念是从一个点出发的两条射线构成的图形，但是在高中，角是一条射线沿端点旋转而成的，这样的话，角的范围就可以扩大到整个实数集，有负有正。

而射线的旋转和钟表中指针的旋转非常类似。

所以钟表是非常好的一个载体，通过它可以对角的高级概念有一个认识，而且钟表指针反复旋转，也是周期性的绝好素材。

再插句题外话， 我们的教材编写虽然有这样那样的缺点，但是我个人觉得还是非常用心的，从一些例题、课后习题中，你可以找到很多伏笔，都与高一级的知识有联系，就看家长和老师是否能充分运用了。

二年级下册开始接触 图形的运动，主要是对折、平移和旋转，到四年级下册会继续学习图形的运动（二），主要是轴对称和平移，到五年级下册学习图形的运动（三），主要研究旋转。九年级上册学习旋转，主要研究旋转和中心对称。

这一部分内容是非常重要的，重要性在于两条：

一条是图形的运动在初中平几考题里经常出现，甚至不仅仅是平几题，在压轴的二次函数题目里，为了加大难度，也会涉及到图形运动，尤其是旋转、平移。

第二条是高中函数图像里会涉及到平移，函数的奇偶性本质上是对称性，轴对称和中心对称。

到三年级上册 开始接触长方形、正方形的概念以及周长计算，三年级下册开始学习面积，由此开始系统的学习平几初步知识，但仍然是以简单认知加基本计算为主。

四年级上册 学习角度的度量，以及平行四边形和梯形，同时学习了平行和垂直的概念。

㊙️在这里要多展开讲一讲，角度的度量家长要告诉学生，角度的划分是人为规定的，并不是天生的，它的作用是什么？

因为在高中还要学习新的角度度量方式，即弧度制，如果明白角度规定的原理，对于之后理解弧度制是有用的。

同时 既然有平行四边形作为素材，又学习了角度的度量，完全可以引导学生自己尝试去找一找同位角、内错角、同旁内角之间的关系！

引导孩子归纳推理！

四年级下册 学习三角形，在最后涉及到四边形的内角和、凸多边形的内角和，非常好的数列素材！也可以归纳推理出凸多边形内角和公式！

五年级上册学习 多边形的面积，包括平行四边形、三角形、梯形，五年级下册学习几何体的体积和表面积，包括长方体、正方体的体积和面积，六年级上册学习圆的面积和周长以及扇形，六年级下册学习圆柱、圆锥的体积，以及圆柱的表面积。

这一部分知识到高一上学期的必修二还要再深入的学习，面积公式初中还要使用，体积公式初中基本没有使用。

但是在这里要特别强调的是， 周长、面积公式或者体积公式本质上其实已经是函数了，里面的半径r其实就相当于是函数的自变量。

㊙️在这里可以稍微引一引，让学生对于半径r和周长、面积、体积的对应关系有一个认识。

特别需要说明的是，圆的面积公式运用到了微积分的基本思想。

到此，小学的几何内容算是告一段落。

㊙️初中的平面几何， 一方面建议大家早着手，让孩子学习，另一方面要特别重视这方面的训练，不光是为了应试，而是平面几何的证明是少有的直接锻炼学生逻辑思维能力的知识，而且是初高中阶段仅有的一部分了。

现在高中立体几何证明都用向量作为工具，代数化了！

七年级上册学习 几何图形初步，除了回顾总结之外，又对角进一步研究。角的学习历经了二年级上册、四年级上册、七年级上册学习了角的比较与计算，才算完整的学习完毕。至此才算真正拉开系统的几何学习的篇章。

七年级下册学习 相交线与平行线，开始研究平行关系的判定与证明，这是初中几何非常重要的部分！

一定要从这个时候重视起来，因为从这里开始，孩子开始学习证明，以前大都是计算，而证明题和计算题还是有区别的，所以一定要在这里多下功夫，学会证明题的思维方式，加强逻辑能力的培养！

之后八年级上册学习 三角形、全等三角形、轴对称，八年级下册学习平行四边形，九年级上册学习旋转和圆，九年级下册学习相似和锐角三角函数。

基本上初中平几都集中在八年级、九年级。

这里要强调一下相似的重要性，初中平几的核心是相似，一定要把相似的证明技巧放在重要的位置上。

另外之所以把锐角三角函数归在几何中，是因为与其叫三角函数，不如叫三角比，是在直角三角形中探讨的。

✍✍最后对于初中阶段的几何，要着重说一下平面直角坐标系，这是非常重要的一个内容！

不仅仅是在绘制函数图像时有用，更重要的是它所体现的几何图形代数化的思想，一旦有了坐标系，几何图形都是可以代数化的。

而且在初中也提供了这样的素材，一元一次函数，因为一元一次函数其实在形式上和二元一次方程是一样的，所以直线可以说是一元一次函数的图像，也可以认为是二元一次方程的图像。

初中的很多东西，有时候就是为高中学习做一个铺垫，你提到了，当时可能没有用，但是之后遇到的时候，孩子回想起来，会掌握得更快。

✍✍到了高中，几何反而变得简单明了，两个部分，立体几何与解析几何两部分。

高一上学期必修二学习立体几何与解析几何初步，高一下学期必修四学习向量，这样到高二上学期就可以用空间向量解决立体几何问题。

高二上学期再学习一下解析几何，将几何图形用方程表示，研究方程去研究几何图形的关系。之后又引入极坐标系，参数方程两部分，也是这种思路的延伸。

把向量放在几何里，是因为向量是将几何与代数联系的工具。但是到了大学，向量又是线性代数的基础，最好要让孩子知道，平面向量、空间向量只是向量的特殊形态。