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浅谈如何学好小奥计数

原创 , 图片4
2022-8-4 08:59

数是一个低门槛高天花板的模块,人人都会,但很难做对。当孩子学到了一定的阶段后容易达到一个瓶颈,表现就是做题都有一点思路,可总是无法考虑全面,发现做错后一看答案就懂,可如果自己的方法和答案的方法不一样的话,往往就不知道自己错在哪里了。如果你有以上的问题,那么这篇文章应该可以解决大部分的问题。

之前的《浅谈如何学好小奥几何》和《浅谈如何学好小奥行程》两篇分享,侧重于具体知识点层面的梳理,因为这两个模块相对来说比较简单,如果基础没问题,很多题目都可以按部就班做出来,所以分享的细节比较多。

由于计数模块的特殊性,这篇我侧重于学习思路不说具体方法,因为难点不在于方法的学习而是运用。案例也不放太多,因为之前的每篇文章里面几乎都有计数的案例。

01特点

小奥的计数无论是范围还是难度,都比高考难很多。高中的排列组合相当于是小奥部分内容中低档难度的题目。所以这个模块我建议还是要深入学习,是少数几个将来可以降维中学课内的内容。计数可以培养学生的有序思维能力,严谨思维、有条不紊的分析问题和解决问题的能力。这些都是中学生必须具备的能力。

做计数最重要的是什么呢,很多人都会说是“不重不漏”,这其实是一句正确的废话,真知道了就肯定能做对了。除了细心外,计数主要是考察对一个题目的抽象能力。也就是读完题目之后,能够反应出来这个题目和之前哪个模型最类似,整体上要用什么方法。具体做题中如何分类和分步,这其实是一种天赋,不过后天训练也可以获得。

我觉得计数学不好的孩子,一般都是因为”懒“,这个懒包括两层意思:

一个是行动上的懒就是做题时候懒得枚举,懒得写过程,老是希望能瞪眼出结果。

一个是思维上的懒就是就题论题,做完题目懒得总结。

02难点

不同模块的“难”是不一样的,比如组合的“难”,是没见过几乎做不出来,因为你很难想到那个方法。而计数正好相反,所有的方法都学过(因为就那么几个),但是做题的时候往往不知道该用哪个。计数的“难”,更像是多个基础知识点叠加后的结果,学习时候需要反复消化、吸收和沉淀。具体来说有以下几个方面:

一、从实际问题中抽象出特定的数学模型

无论是什么计数问题,抛开表面,都能寻找一个对应模型,找到模型以后,我们只需要研究这个模型即可。比如说几何计数,题目问的是数这个图里面到底有多少个三角形,可是一般我们都不关心三角形,而是数顶点或者边。让我们计算长方形数量,其实就是数有多少组的对边。

另外很多题目,一字之差方法就完全不一样,如果不注意审题,很可能直接用错了方法。比如下面这几道题目。

§  将6个相同的球放进3个相同的盒子,不允许有空盒

§  将6个相同的球放进3个不同的盒子,不允许有空盒

§  将6个不同的球放进3个相同的盒子,不允许有空盒

§  将6个不同的球放进3个不同的盒子,不允许有空盒

§  将6个相同的球放进3个相同的盒子,允许有空盒

§  将6个相同的球放进3个不同的盒子,允许有空盒

§  将6个不同的球放进3个相同的盒子,允许有空盒

§  将6个不同的球放进3个不同的盒子,允许有空盒

(答案分别为:3、10、90、540、7、28、122、729)

二、容易忽略隐藏的限制条件

这是解题时候常见的大坑,解决不好就容易“重”和“漏”,很多计数问题的题干都不长,看似只有1-2个限制条件,可当实际做题的时候,就会发现在解题过程中,这个条件背后居然还有隐藏的条件。

这些隐藏条件,一般都是和大小、顺序、染色先后、间隔、捆绑有关系。而如何在同时满足这些条件的前提下,还能做到不重不漏(也可以用容斥解决)还是挺难的。

三、不同方法计算量相差比较大

一般情况下,老师或者答案只给1-2种方法,而计数几乎每一道题目都有多重方法。自己知道的那种方法可能是常见的方法,但不一定是最优的方法,或许本来就没有最优的方法,但一定有最适合理解的方法。

比如还是小球的题目,四年级导引第22讲《计数综合一》超越篇第1题的第4小问,这个答案是分了3种情况讨论,我见过所有的老师也是这么讲,这种做法只能说是中规中矩,但还是停留在了表面。

四年级导引第22讲《计数综合一》

下面我们来重新研究这道题目,题干里面说了球的数量足够多,并且可以重复,那么就是属于可重复性的组合问题,可以转化为标数法,所以答案就是C(8,3)=56,方法熟练的话连图都不用画,口算即可。

如果我们总结一下,就是从数量足够多的m种不同的元素中(每种至少n个),取出n个可以重复的元素进行组合,那么总数就是C(m+n-1,n)种。

到这里还没有结束,我们还可以换个角度考虑,假设6种小球分别取了a、b、c、d、e、f个,那么a+b+c+d+e+f=3,问题转化为求这6个未知数有多少组自然数解,可以用插板法计算,答案也为C(8,3)。

通过这个例子我们看到,方法越简单,那么分类越细致,在思考上也越少,但是计算量上会增大。有可能一道题目,有人写了半张纸,分类了好几种情况,而有的人写了一个式子就列出来了。

方法越复杂通用型越强,虽然计算量少很多,可要考虑的问题也越多,也越容易出错。一般情况下,除非你对自己非常有信心,我建议在计算量可以接受的前提下,优先简单方法。

四、很难验证是否正确

这是计数的一大特点,也是计数题目正确率的低的主要原因之一。以至于我平时不做没有答案的计数题。

03应对

一、打好枚举基础

计数的关键在于枚举能力,这对加乘原理、传球法等的理解极其重要。乘法原理中乘法适用的前提就是,每一种情况都是一样的才可以用乘法。如果情况不一样,那么就得用加法,如果枚举的基础不行,后面没有理由学好。我们都希望把一个问题利用几个排列组合数轻松解决,实际上,大多数有难度的计数题目都是需要分类讨论的。

计数是为了解决一个具体问题,答题者需要设计一个方案来解决这个具体问题。我们在设计方案的时候,一定要确保每一步都是没有问题,枚举就是确保我们方案的严谨性。

比如下面这道4年级导引第11讲《加法原理与乘法原理》超越篇第7题,很多人估计连答案都看不懂。其实这道题的做法没问题,就是作者只写了完整答案的后半部分,前半部分没写出来,如果你枚举的基本功非常好,那么一看答案就知道为什么要这么分类。

4年级导引第11讲《加法原理与乘法原理》

只有把上一道题做明白了,枚举的基本功才算是过关了。而下面这道题源自某年的大师赛,我个人猜测出题老师就是根据上面这道题目改变的,思路做法几乎完全相同,如果上面的题目感觉没问题,那就可以用这道题目检验一下。

二、错题的打磨

有一种学会是自己以为的学会,有一种正确是答案的正确。每次都是记得正确的做法,而不知道自己错在哪里,是解决不了问题的,特别是对于计数这种就是几个知识点来回用的模块,如果理解有偏差必然会做错,没出错就是题目还不够复杂。

不知道自己哪里错了更可怕。所以计数就是不停地通过错题来打磨自己的知识体系,目标是让自己的知识网络尽量完整没有漏洞。不要满足只用一种方法做对,而是用多种方法。一旦发现了某一种方法的答案是错误的,那么就是学习提高的机会。做计数题最重要的是把哪里做错了搞清楚了,而不是哪里做对了。

三、化归思想

学习排列组合目的之一是培养将复杂问题简单化的能力。遇到难题没有思路的时候,一个常见操作是将问题通过分解和简化解决。就从最基础的1-2个数量开始研究,在这个过程中找规律,在研究了几个情况后,往往就有思路了,这个就是前面说的不能“懒”。如果看不懂答案,那么将数字简化,去除掉计算的影响后,更容易理解答案的思路。

在研究过程中,组合数公式最好掌握,掌握这些公式后,就会发现,很多种做法其实都是一种做法,只是我们选择的方案不一样,本质上都是一回事。这两个公式对于将来理解杨辉三角和二项式定理的系数也有很大帮助。

四、通过刷题融会贯通

没有一定数量的题目来来支撑,前面的说法都是空谈,只有做题才是检验水平的唯一标准。每当看到一个题,不要把它往已经有的方法里面去套,而是分析这个题到底考的是什么,那我用哪种方法做出来更合理。数量累计到一定阶段必然会引起质变。

我在前面提到,计数就是那么几个方法来回用,之所以有那么多的题目,不过就是对应的变化而已,所以我几乎没有提到具体方法,因为孩子学习缺的不是具体方法,而是在做题中如何“悟”这些方法。只做题不总结,就是用战术上的勤奋来掩盖战略上的懒惰。

04总结

认为学奥数只用于小升初,学完了就扔一边的,我觉得是没有真正体会到数学的精髓,抱有这种思想大概率学不好奥数。生活中有太多问题和数学相关,和计数相关的也非常多,引导孩子学以致用,发现数学的美和意,才是最大的收获。


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